鋼框架高級分析中的改進塑性鉸法 鋼框架高級分析中的改進塑性鉸法

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1、簡 介

    鋼結(jié)構(gòu)高級分析^[1-2]（亦稱為整體分析^[3]）是指通過精確的非線性分析，完善的考慮結(jié)構(gòu)的二階效應(yīng)及其它非線性因素的影響，通過一次性分析，完成目前先進行內(nèi)力分析再進行結(jié)構(gòu)驗算的兩階段設(shè)計所做的工作。高級分析方法同時考慮影響鋼結(jié)構(gòu)及其構(gòu)件的極限狀態(tài)強度和穩(wěn)定的關(guān)鍵因素。由于非線性效應(yīng)是在結(jié)構(gòu)分析中直接考慮的，所以用高級分析方法設(shè)計鋼框架時，通常不需要進行當(dāng)前設(shè)計規(guī)范條文中強制性的單個構(gòu)件驗算。這種綜合性的設(shè)計和分析方法從本質(zhì)上保證了對設(shè)計過程的簡化，使工程設(shè)計人員能夠了解要設(shè)計的結(jié)構(gòu)在不同荷載水平下的行為和其破壞模式。澳大利亞首先在其1990年版本鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范AS4100中允許將高級分析方法作為一種可選方法，以簡化不發(fā)生局部屈曲和側(cè)向屈曲的鋼框架的設(shè)計^[4]。歐洲標準EC3－1991也做了相應(yīng)的規(guī)定^[5]。
    空間鋼框架的二階非線性分析有多種方法^[6,3,7-8]，這些方法大致可以分為：（1）塑性區(qū)法(plastic zone method) ^[9,28-29,31]。塑性區(qū)高級分析方法將構(gòu)件截面劃分成若干有限面積分區(qū)，截面的切線剛度就由這些面積分區(qū)的彈性特性形成，截面的抗力和彎矩也由分區(qū)面積的抗力效應(yīng)累加形成，利用牛頓－拉普森系列迭代法使不平衡的內(nèi)力和外力重分配。文獻[10]介紹了塑性區(qū)法求解鋼框架極限荷載的過程。很多學(xué)者認為塑性區(qū)法是精確的。但是由于劃分的單元數(shù)量特別多，造成結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣十分龐大，在計算機計算分析過程中會導(dǎo)致較大的截斷誤差，迭代過程中更容易發(fā)散，耗時較長。目前許多大型非線性分析軟件采用了塑性區(qū)法，或者包括塑性區(qū)法的多種混合方法。這些軟件包括ABAQUS、ANSYS、MARC等通用的商業(yè)軟件。隨著個人計算機性能的快速提高，用這種方法進行大型結(jié)構(gòu)的分析和輔助設(shè)計是可能的。（2）準塑性鉸法(quasi plastic hinge method)^[11]。準塑性鉸法是介于塑性區(qū)法和塑性鉸法之間的混合方法，該方法利用柔性系數(shù)考慮塑性的擴展，使用簡化的殘余應(yīng)力模式，全截面塑性用塑性區(qū)法標定。該方法很難進一步發(fā)展用于空間結(jié)構(gòu)分析。（3）塑性鉸法(plastic hinge method，or concentrated plasticity method)及以塑性鉸概念為基礎(chǔ)的改進方法。塑性鉸高級分析方法將構(gòu)件的屈服集中到幾個截面上，用彈簧模擬塑性鉸形成截面的切線剛度。這樣塑性鉸法避免了將一個截面劃分成多個小的面積分區(qū)，多數(shù)構(gòu)件只需劃分成一兩個單元，并且保持了較高的精度，這就大大減小了結(jié)構(gòu)剛度矩陣的大小，簡化了計算機分析過程，提高了效率。
    盡管實際上所有的框架都是三維的空間結(jié)構(gòu)，但是有些結(jié)構(gòu)可作為二維平面框架分析，比如不允許局部屈曲和側(cè)向屈曲的框架，在一階彎矩、軸向力和面內(nèi)失穩(wěn)造成的二階效應(yīng)綜合作用下，由于屈服過度而破壞。高級分析方法正是從受二維荷載的二維框架分析開始發(fā)展起來的，而后在此基礎(chǔ)上進一步研究了局部屈曲和側(cè)向屈曲不太重要的三維框架，比如管結(jié)構(gòu)。表1列出了高級分析針對不同類型的框架幾種分析方法的特點^[8]：

框架類型

荷載類型

失效形式

失效原因

特別情形

平面框架

面內(nèi)受力

平面內(nèi)

屈服

平面內(nèi)屈曲

平面框架

面內(nèi)受力

平面內(nèi)

局部屈曲

局部屈曲后

平面框架

面內(nèi)受力

出平面

側(cè)向屈曲

屈服及翹曲

平面框架

空間受力

雙向彎曲和扭轉(zhuǎn)

屈服

扭轉(zhuǎn)

平面框架

空間受力

雙向彎曲和扭轉(zhuǎn)

局部屈曲

局部屈曲后

空間框架

空間受力

雙向彎曲和扭轉(zhuǎn)

屈服

扭轉(zhuǎn)

空間框架

空間受力

雙向彎曲和扭轉(zhuǎn)

局部屈曲

局部屈曲后

表1  高級分析中的幾種方法

    目前，二維框架的平面內(nèi)分析相對較多，考慮其側(cè)向屈曲的研究并不多。真正針對三維框架空間受力情形的嚴格分析非常少。

2、塑性鉸法及其改進

    塑性鉸法最初發(fā)展起來的是彈塑性鉸分析法^[12-13]。該方法一般假定構(gòu)件不發(fā)生局部屈曲，即限定構(gòu)件采用緊湊型截面（compact section）。允許單元端部形成零長度的塑性鉸，單元的其他部分則保持完全彈性。這一方法從一定程度上考慮了非彈性，但不考慮屈服在塑性鉸形成截面上以及在兩鉸之間的擴展，兩鉸之間殘余應(yīng)力的影響不能考慮。這種簡單的方法用穩(wěn)定函數(shù)模擬幾何非線性。對于主要發(fā)生彈性屈曲的細長構(gòu)件，彈塑性鉸法與塑性區(qū)法計算結(jié)果符合很好；然而對于發(fā)生較大屈服并伴隨塑性擴展的粗短構(gòu)件，由于忽略了屈服沿構(gòu)件的擴展，不能考慮構(gòu)件因漸進屈服過程造成的剛度削弱，用該方法預(yù)測承載能力誤差較大。文獻[3]指出，彈塑性鉸法得到的計算結(jié)果對于細長柱內(nèi)力較小的剛架與塑性區(qū)法較接近，但是一般多層多跨剛架的承載力均偏高，有的剛架偏高的幅度很大。
    一些學(xué)者致力于研究基于塑性鉸概念的改進方法—改進塑性鉸法。Orbison、Prakash和Powell、Chen、Liew和Tang、Kim等、Wongkaew，以及其他研究者，利用塑性鉸法或者改進塑性鉸法作了鋼框架二階非線性分析的研究。Orbison使用彈塑性鉸分析方法，材料非線性用切線模量考慮，幾何非線性用幾何剛度矩陣處理。該方法不考慮剪切變形，對僅承受軸向力的短構(gòu)件誤差較大。Prakash和Powell改進了塑性鉸法并推出了DRAIN-3DX分析軟件，材料的非線性用截面纖維的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系體現(xiàn)，由軸向力引起的幾何非線性用幾何剛度矩陣體現(xiàn)，但是由軸向力和彎曲相關(guān)作用引起的幾何非線性不予考慮。該方法高估承受大軸向力構(gòu)件的強度和剛度。Liew和Tang使用的是改進塑性鉸法，殘余應(yīng)力用傳統(tǒng)的梁－柱有限元模型考慮，材料非線性以計入描述材料屈服面－邊界面（yield and bounding surfaces）的非彈性參數(shù)的方式考慮。該方法對僅承受軸向力的短構(gòu)件低估其屈服強度最大達7％。Chen等所用的改進塑性鉸法用穩(wěn)定函數(shù)考慮幾何二階效應(yīng)，CRC切線模量考慮殘余應(yīng)力，同時也提出了處理幾何缺陷的具體方法^[7]。這種方法考慮的因素較為全面。總的來看， Chen 、Liew和Kim等發(fā)展的改進塑性鉸法可以考慮以下兩種剛度退化：1）塑性鉸形成截面的剛度退化。2）兩塑性鉸之間構(gòu)件的剛度退化。這種方法和彈塑性鉸法一樣簡單有效，同時保持了對結(jié)構(gòu)體系及其構(gòu)件承載能力和穩(wěn)定性計算的較高精度。
    經(jīng)過多年的研究，改進塑性鉸法在分析二維框架的平面內(nèi)分析方面已比較成熟，開始向空間框架高級分析延伸。有研究者主張先利用現(xiàn)有塑性鉸法進行平面內(nèi)分析，再進行考慮殘余應(yīng)力和初始幾何缺陷的基于非線性側(cè)向屈曲分析的實用高級分析。這方面的例子見文獻[14,15]。文獻[14]用LRFD公式計算不同側(cè)向支撐長度下的側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲強度，如果無側(cè)向支承的長度超過發(fā)生全截面（面內(nèi)）屈服的極限長度，則用側(cè)向（彈性或非彈性）扭轉(zhuǎn)屈曲強度代替全截面屈服強度，代入考慮軸向力與彎矩相關(guān)作用的截面塑性強度公式（AISC－LRFD雙線性相關(guān)公式）。文獻[15]分別進行平面內(nèi)分析和平面外屈曲分析，用“有效剛度法”綜合考慮所有材料非線性、殘余應(yīng)力和幾何缺陷對平面外屈曲的影響。對空間框架的分析見文獻[7,16-17]。其使用的分析單元共有12個自由度（每個端部6個），忽略了翹曲約束的影響。
    另外，對改進塑性鉸法高級分析其他有關(guān)問題的研究也取得了進展。Chen、Liew、Kim、Yoshiaki Goto、N. Kishi等研究了鋼框架的半剛性連接問題^[18-23]，使得結(jié)構(gòu)整體分析中可以考慮連接的半剛性及其剪切變形影響。Kim等又進一步研究了考慮局部屈曲效應(yīng)、應(yīng)變反轉(zhuǎn)的方法以及有關(guān)弱軸彎曲的處理辦法^[24-26]。關(guān)于改進塑性鉸法在抗震設(shè)計中的應(yīng)用方法可參考文獻[27]。
    改進塑性鉸法可以考慮二階效應(yīng)、材料非線性和幾何缺陷等多種非線性因素的影響，利用計算機程序?qū)︿摽蚣苓M行整體分析，并且具有對計算機性能要求不高、計算省時同時又可以滿足工程設(shè)計精度要求等優(yōu)點，有可能取代當(dāng)前各國規(guī)范普遍采用的基于單構(gòu)件設(shè)計的方法，成為實用的二階非線性鋼框架設(shè)計方法。但是因為塑性鉸法沒有像塑性區(qū)法一樣將截面分成面積分區(qū)，所以很難精確考慮局部屈曲和平面外屈曲特別是翹曲效應(yīng)，對局部變形、翹曲與軸向力和彎矩間的相關(guān)作用、端部翹曲約束的模擬還比較困難。目前該方法一般不考慮屈曲前效應(yīng)和屈曲后效應(yīng)。

3、塑性區(qū)法高級分析以及其他有關(guān)結(jié)構(gòu)非線性研究的進展

    塑性區(qū)法用于結(jié)構(gòu)分析較早，國內(nèi)外的研究成果相對多一些。Vogel用塑性區(qū)法（塑性分配法）分析了緊湊型截面二維框架^[28]，其結(jié)果被廣泛用作檢驗框架分析精確程度的標準。Avery則分析了非緊湊型截面框架，給出了詳細的殼單元分析模型^[29]，并且做了大型試驗檢驗其分析模型的精度^[30]。Jiang等利用塑性區(qū)法進行三維鋼框架非線性分析^[31]，用塑性擴展模型模擬結(jié)構(gòu)構(gòu)件，考慮了殘余應(yīng)力、初始缺陷以及壓力、彎曲和扭轉(zhuǎn)的耦合效應(yīng)，但限制局部屈曲，不能考慮側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲。其所編制的計算機程序要達到塑性鉸法程序相同的精度，需要將構(gòu)件劃分為7個單元，這也證實了塑性鉸法的效率。此外，Yeong-B. Y和Kuo-S. R對框架體系的幾何非線性分析進行了深入的分析，并首次提出了利用“廣義位移法”求解非線性方程^[32]。Buonopane等總結(jié)了高級分析設(shè)計的可靠度研究，考慮結(jié)構(gòu)特性和荷載的隨機性^[33]。
    國內(nèi)的王孟鴻采用薄壁構(gòu)件理論考慮了構(gòu)件截面翹曲的影響，進行了各向同性損傷理論塑性區(qū)分布模型的彈、塑性區(qū)雙重非線性分析，以及考慮局部屈曲、節(jié)點區(qū)變形和半剛性連接的三維空間鋼結(jié)構(gòu)非線性分析，并且在理論分析基礎(chǔ)上編制了實用的三維空間鋼結(jié)構(gòu)的彈、塑性分析軟件^[34]，所做的工作目前是國內(nèi)較為全面的。舒興平等作了鋼框架結(jié)構(gòu)二階彈塑性穩(wěn)定極限承載力的試驗研究和分析^[35-36]，郭兵、顧正維、王新武等對剛框架的半剛性連接作了研究^[37-39]。沈世釗教授、董石麟教授、張耀春教授、尹德鈺教授對空間單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的非線性行為進行了深入研究，他們的研究內(nèi)容也是空間結(jié)構(gòu)高級分析的重要組成部分^[40-45]。國內(nèi)其他研究者對剛框架及其構(gòu)件非線性分析等問題作了研究^[46-48]。

4、改進塑性鉸法對各種非線性影響因素的簡化處理方法

　　改進塑性鉸法對各種非線性影響因素采用了簡單實用的近似處理方法。鑒于Chen、Liew、Kim、Wongkaew等發(fā)展的改進塑性鉸法在目前基于塑性鉸概念的高級分析方法中考慮的問題較為全面，本文以這種方法為基礎(chǔ)詳細介紹改進塑性鉸法的基本概念和技術(shù)。這里先介紹平面框架的平面內(nèi)分析，再介紹平面外分析。

4.1 改進塑性鉸法二維框架平面內(nèi)分析

　　對二維框架的平面內(nèi)分析，改進塑性鉸法考慮二階幾何效應(yīng)、與殘余應(yīng)力和彎曲相關(guān)的漸進屈服以及幾何缺陷等非線性因素。具體解決方法如下面各小節(jié)所述：

4.1.1 穩(wěn)定函數(shù)考慮幾何二階效應(yīng)

　　Chen和Lui提出了簡化的穩(wěn)定函數(shù)，用以體現(xiàn)大位移情況下二階幾何效應(yīng)。通常一個構(gòu)件只需分成一個或兩個單元。按照圖1所示梁柱單元，該單元增量形式的力－位移關(guān)系可以用公式（1）表示為：
 

  （1）

　　這里，S₁，S₂＝穩(wěn)定函數(shù)；，＝增量形式端彎矩；＝增量形式軸向力；，＝增量形式連接轉(zhuǎn)角；增量形式軸向位移；A，I，L＝面積，初始慣性矩，梁柱單元長度；E＝彈性模量。穩(wěn)定函數(shù)由下式定義：

      （2）

       （3）

　　這里ρ＝P／(π²EI／L²)，P以受拉為正。
　　當(dāng)軸向力為零時公式（2）、（3）無解。為解決這一問題并避免軸向力變號時公式（2）、（3）不一致，Lui和Chen建議用冪級數(shù)展開式近似穩(wěn)定函數(shù)。當(dāng)構(gòu)件中的軸向力在－2.0<ρ<2.0范圍內(nèi)時，可以用下面簡化的表達式近似穩(wěn)定函數(shù)：

     （4）

      （5）

　　在絕大多數(shù)實際應(yīng)用中，公式（4）、（5）與精確表達式（2）、（3）符合得非常好(對ρ在－2.0<ρ<2.0范圍外的情況，應(yīng)當(dāng)用公式（2）、（3）)。穩(wěn)定函數(shù)法對每個構(gòu)件只用一個單元，即可保證任意軸向力大小作用下單元剛度各項和求解的軸向力的精度。該公式應(yīng)用的前提是所有構(gòu)件都有足夠的平面外支撐，以保證不發(fā)生平面外屈曲；構(gòu)件截面均為緊湊型截面。

4.1.2 截面的塑性強度

　　根據(jù)AISI－LRFD雙線性相關(guān)公式，截面的塑性強度可以用下式表達：

         （6）

         （7）

　　這里P,M＝二階軸向力和彎矩； P_y＝壓屈強度； M_p＝全截面塑性彎矩。

　　Orbison提出的截面塑性強度用下式表達：

       （8）

　　這里，p＝P/P_y，m_z＝M_z/M_zp(強軸)，m_y＝M_y/M_yp(弱軸)，P_y＝屈服荷載，M_yp、M_zp分別是繞y軸和z軸的塑性彎矩。α是力狀態(tài)參數(shù)，α＝0.5時開始屈服，α＝1.0達到全截面屈服。這兩種截面的塑性公式見圖2、圖3所示：

　　這兩種塑性強度公式可以用于空間框架結(jié)構(gòu)。對于平面架，簡化為以下兩個公式：

      （9）

    （10）

　　這里P，M＝截面的二階軸向力和彎矩；M_p＝全截面塑性彎矩。

 

4.1.3 CRC切線模量考慮殘余應(yīng)力

　　對塑性鉸間承受軸向力的構(gòu)件，用CRC（Column Research Council，美國柱研究局）切線模量考慮由于殘余應(yīng)力導(dǎo)致的沿構(gòu)件長度漸進屈服。這里減小彈性模量的大小以代替減小初始慣性矩I的大小，以體現(xiàn)截面彈性核減小造成的剛度降低。剛度沿強軸和弱軸減小的速率是不同的，這里并未考慮，因為弱軸剛度的快速減退可以由富余的弱軸塑性強度補償。Chen和Lui建議的E_t表達為：

        （11）

         （12）

4.1.4 拋物線函數(shù)考慮彎曲影響

　　切線模量模型適于受軸向力的構(gòu)件，但對既承受軸向力又承受彎矩的情況，需要引入考慮彎曲塑性效應(yīng)的塑性鉸逐漸軟化模型，用以體現(xiàn)塑性鉸由彈性到剛度為零的過程。如果單元兩端都在發(fā)展塑性鉸，增量形式的力—位移關(guān)系可以表達為：

 （13）

　　η_A、η_B＝單元剛度參數(shù)，用以體現(xiàn)由彎曲引起的剛度的逐漸減小。單元端部的截面塑性狀態(tài)由η在1和0之間變化來體現(xiàn)。η假定按照拋物線表達式變化：

               （14）

               （15）

　　這里α是力狀態(tài)參數(shù)，由單元端部極限狀態(tài)面得出。此外，還可以進一步修正單元剛度矩陣以便考慮剪切變形的影響^[7]。

4.1.5 幾何缺陷

　　通常有三種處理方法考慮制造或安裝誤差：明確缺陷模型法、等效節(jié)點荷載法、進一步減小切線模量法。
1)明確切線模型法
　　可以取規(guī)范規(guī)定的最大構(gòu)件誤差作為幾何缺陷。比如美國AISI規(guī)范允許每層的垂直誤差不超過Lc/500，可以采用Lc/500作為幾何缺陷限值。無支撐框架可以考慮垂直誤差幾何缺陷，有支撐框架則不需考慮，因為垂直誤差引起的P-?效應(yīng)可以由側(cè)向支撐抵消。對有支撐框架，應(yīng)當(dāng)用構(gòu)件的直線誤差代替垂直誤差作為幾何缺陷?？梢匀∫?guī)范規(guī)定的最大構(gòu)件誤差作為幾何缺陷，比如， AISI建議對構(gòu)件取其最大制造誤差為Lc/1000。直線誤差可以認為沿構(gòu)件呈正弦波變化，在構(gòu)件中央達到最大值Lc/1000，然而研究發(fā)現(xiàn)每個構(gòu)件只用兩個單元而構(gòu)件中央有最大位移（缺陷）的模型已足以反映缺陷效應(yīng)。
2)節(jié)點荷載法
　　框架的幾何缺陷可以用等效的側(cè)向節(jié)點荷載代替，用作用在框架一層上的重力荷載表達。建議用0.002∑P_u作為等效節(jié)點荷載，P_u是一層上的全部重力荷載。等效的側(cè)向節(jié)點荷載作用在每一層的頂部。對有支撐框架，等效節(jié)點荷載應(yīng)作用在柱的中間位置，大小取0.004∑P_u。這和幾何缺陷Lc/1000相當(dāng)。
3)進一步減小切線模量法
　　為考慮幾何缺陷的影響，可以進一步減小切線剛度E_t，也就是用減小切線剛度E_t的辦法體現(xiàn)由于幾何缺陷造成的構(gòu)件剛度逐漸退化?？梢赃M一步減小CRC切線模量為：

          （16）

         （17）

　　這里＝減小的E_t；ξ＝幾何缺陷減小系數(shù)。

　　經(jīng)大范圍框架和柱子計算驗證，減小系數(shù)取值0.85。這種方法比另外兩種方法在設(shè)計中更為簡便，既不用在單元模型中加入明確的幾何缺陷，也不用另外施加等效節(jié)點荷載，并且不必考慮幾何缺陷的方向，而在分析大型的有側(cè)向支撐框架時確定最不利幾何缺陷方向往往很困難。根據(jù)文獻[3]的分析，等效節(jié)點荷載法和進一步減小切線剛度法的精度是令人滿意的。

4.2 考慮平面外屈曲的方法

　　有關(guān)單個梁（受壓）和梁柱（壓彎）構(gòu)件的側(cè)向屈曲有很多研究成果，但對于框架結(jié)構(gòu)體系中的側(cè)向屈曲問題目前的研究還不多。在結(jié)構(gòu)中構(gòu)件的翹曲往往與構(gòu)件間的相關(guān)作用有關(guān)。比如，對于相互垂直連接的工字形構(gòu)件，一個構(gòu)件的扭曲將導(dǎo)致另一構(gòu)件的翼緣翹曲，而翹曲構(gòu)件翼緣的雙彎矩會影響前一構(gòu)件的翼緣扭曲。此外，各種形式的連接其傳遞扭曲或翹曲的能力也各不相同。因此，針對結(jié)構(gòu)體系考慮側(cè)向屈曲是一個非常復(fù)雜的問題。

4.2.1 考慮平面外側(cè)向屈曲的條件

　　鋼框架建筑中，梁構(gòu)件一般由樓板提供了足夠的面外約束，能充分發(fā)展面內(nèi)強度，而梁－柱（壓彎）構(gòu)件只在其端部有面外方向的約束，可能發(fā)生平面外彎曲或扭曲。根據(jù)參考文獻[15]的研究，在面內(nèi)荷載的作用下，無側(cè)移（有側(cè)向支撐）平面鋼框架建筑中的柱構(gòu)件通常由綜合彎曲屈曲和扭轉(zhuǎn)屈曲的平面外失效模式控制，有側(cè)移（無側(cè)向支撐）平面鋼框架建筑中的柱構(gòu)件也可能由平面外失穩(wěn)控制。因此，對于鋼框架建筑中的梁構(gòu)件用平面內(nèi)高級分析方法就可以了，對其柱構(gòu)件則需進行平面外高級分析。

4.2.2 考慮平面外側(cè)向屈曲的簡化方法

　　嚴格來講，二維框架由于其兩個主平面的初始彎曲和初始扭轉(zhuǎn)，實際上受雙軸彎曲和扭轉(zhuǎn)作用。但目前研究實用的雙軸彎扭屈曲高級分析方法還很困難，充分考慮平面外彎扭屈曲失效模式的實用高級分析技術(shù)還不存在。于是，有研究者建議把分析簡化為平面內(nèi)和平面外兩個獨立的階段，首先進行塑性鉸法平面內(nèi)高級分析，再進行平面外高級分析。一些國家的規(guī)范也要求分別進行平面內(nèi)和平面外承載力驗算。這種簡化的方法使得當(dāng)前可行的平面內(nèi)分析方法在第一階段可以保留使用，只需要研究平面外分析方法，而且平面內(nèi)分析使用的結(jié)構(gòu)形狀及得到的彎矩和軸向力分配可以直接作為輸入數(shù)據(jù)用于平面外分析。具體分析過程為：根據(jù)當(dāng)前的荷載和幾何效應(yīng)，計算各分析單元的平面內(nèi)和平面外剛度矩陣，分別組成結(jié)構(gòu)的整體平面內(nèi)和平面外剛度矩陣，施加邊界條件，若平面內(nèi)剛度≤0，則改用較小的荷載增量重復(fù)該循環(huán)分析；否則檢查平面外剛度矩陣，若平面外剛度矩陣≤0，則改用較小的荷載增量重復(fù)該分析。若結(jié)構(gòu)平面內(nèi)平面外穩(wěn)定均滿足，應(yīng)用該增量荷載求解未知增量位移、增量荷載。最后更新單元的幾何和荷載效應(yīng)，施加下一步增量荷載重復(fù)分析直至結(jié)構(gòu)失效。
　　前文所述平面內(nèi)分析實質(zhì)上是對結(jié)構(gòu)在面內(nèi)荷載作用下的彈性彎曲分析，做出了一些修正以允許軸向力和屈服造成的截面剛度削弱，以及因殘余應(yīng)力、屈服、初彎曲和平面內(nèi)效應(yīng)造成的彎曲剛度削弱。但是，對于面內(nèi)荷載作用下的框架結(jié)構(gòu)的出平面屈曲分析來說，并沒有直接的平面外行為，最主要的平面外行為是構(gòu)件出框架平面外的側(cè)向屈曲。所以，相應(yīng)的出平面分析應(yīng)當(dāng)是一種屈曲分析而不是彎曲分析。如此，則所有的初彎曲和初扭轉(zhuǎn)缺陷應(yīng)被去除，但其影響可以某種形式考慮。
　　文獻[8]給出了用有限元特征值問題處理平面外屈曲的公式：

        （18）

　　[K_L]是平面外剛度矩陣，[K_G]是平面外穩(wěn)定（幾何剛度）矩陣，{?}平面外位移向量。剛度矩陣應(yīng)當(dāng)包括由屈服引起的任何削弱效應(yīng)，穩(wěn)定矩陣應(yīng)當(dāng)允許彎矩分配和荷載關(guān)于剪心高度的效應(yīng)，以及軸向力和彎矩的非彈性重分配。合適的處理節(jié)點平面外變形的連續(xù)性可以考慮端部約束的效應(yīng)。

4.2.3 實用的側(cè)向屈曲分析方法—有效剛度法

　　在目前考慮平面外屈曲的改進塑性鉸法高級分析中，以K. Wongkaew和W.F. Chen^[15]給出的分別進行平面內(nèi)和平面外兩階段分析的平面鋼框架設(shè)計分析方法較為實用。該方法用彈性剛度的有效值代替其彈性值以考慮材料非線性和幾何非線性效應(yīng)對平面外屈曲強度的影響，采用線性穩(wěn)定函數(shù)理論，并用有限元分析方法導(dǎo)出二階剛度矩陣。設(shè)計平面鋼框架采用的與非線性相關(guān)的假定，在與設(shè)計規(guī)范構(gòu)件強度公式保持一致的基礎(chǔ)上稍作修正。假定位移和應(yīng)變足夠小，以便線性穩(wěn)定（二階）理論可以應(yīng)用，這是經(jīng)典穩(wěn)定理論的基礎(chǔ)。非彈性、殘余應(yīng)力和幾何缺陷的效應(yīng)在構(gòu)件的水平上得以考慮。其具體做法如下面的分節(jié)所示。

4.2.3.1 對二階效應(yīng)的考慮

　　要考慮鋼框架的平面外位移，一個分析單元需要14個整體自由度才能反映所有可能的位移，每個節(jié)點包括三個橫向自由度、三個扭轉(zhuǎn)自由度和一個翹曲自由度。圖4是荷載效應(yīng)和相應(yīng)位移的示意。

圖4  整體荷載效應(yīng)及整體位移

　　基于線性穩(wěn)定假定，Chen、Atsuta和Trahair^[49-50]以及其他研究者證明，對于承受平面內(nèi)荷載的平面框架，在線性狀態(tài)下其平面內(nèi)的荷載－位移關(guān)系與平面外的分叉屈曲是不耦合的。因此，分析單元的剛度矩陣可以用四個獨立的矩陣組成，一個與平面內(nèi)行為相關(guān)，一個與平面外行為相關(guān)，另外兩個是零矩陣。平衡方程可以用符號表示如下：

               （19）

　　這里的平面內(nèi)項為：

          （20）

            （21）

是平面內(nèi)剛度矩陣。平面外項為：

  （22）

     （23）

是平面外剛度矩陣。平面內(nèi)剛度矩陣k_i的推導(dǎo)主要有兩種方法，包括有限元分析法和穩(wěn)定函數(shù)法。但目前正確的平面外剛度矩陣還沒有被推導(dǎo)出來，這里用到的平面外二階剛度矩陣k_o是Barsoum和Gallagher^[51]用有限元分析方程得出的，推導(dǎo)中用到的假定與經(jīng)典穩(wěn)定分析所采用的假定一致。計入平面外荷載效應(yīng)，用0值替代相應(yīng)項，平面外二階剛度矩陣可以表示為：

           （24）

4.2.3.2 對材料非線性和幾何缺陷的考慮

　　用“有效剛度法”考慮所有材料非線性、殘余應(yīng)力和幾何缺陷對平面外屈曲的影響，具體做法是將平面外彈性剛度EI_y、EI_w和GJ用體現(xiàn)剩余彈性核特性的值(EI_y)_t、(EI_w)_t、(GJ)_t代替。對于幾何缺陷造成的額外荷載效應(yīng)對截面能力的削弱，用進一步減小剛度的方法近似。為了與規(guī)范中設(shè)計公式一致，用規(guī)范中的構(gòu)件強度公式標定有效剛度的大小，并使有效剛度同時包括幾何缺陷和材料非線性兩種影響因素的效應(yīng)。文獻[15]給出了具體的梁、柱及壓彎構(gòu)件的等效剛度。

4.2.3.3 對翹曲自由度的處理

　　由于僅在構(gòu)件的水平上考慮了翹曲，所以假定單元端部連接處翹曲自由度間要么完全相互制約：在同一連接上的所有單元端部共用一個整體翹曲自由度；要么沒有相關(guān)作用：每個單元有自己的翹曲自由度，這使每個翹曲自由度產(chǎn)生了一個附加的獨立自由度，并允許各單元在連接處有不同的瞧去約束。對于前者可以把每個連接單元與翹曲相關(guān)的項直接加入框架剛度矩陣，對后者翹曲約束可以作為邊界條件處理。
　　需要指出的是，嚴格處理單元端部在連接處的相關(guān)作用需要能考慮截面畸變的更先進的分析，需要詳細考慮各種連接方式的細節(jié)。這種分析的例子見文獻[52-53]。

4.3 關(guān)于半剛性連接

　　除了幾個特例外，鋼框架的連接通常是半剛性的。文獻[18,54]討論了常用連接的特性，文獻[18]還總結(jié)了幾種模擬半剛性連接的彎矩—轉(zhuǎn)角特性的計算公式，詳細討論了半剛性框架的分析。這里僅簡單介紹Liew、Kim等在塑性鉸高級分析中對半剛性連接的模擬方法。他們把梁柱半剛性連接模擬為零長度轉(zhuǎn)動彈簧，所用的方程允許構(gòu)件與連接之間產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)和彎扭。單元端部的連接單元直接作為整體未知量，無需修改單元剛度矩陣，因此便于應(yīng)用。
　　Liew ^[55]對薄壁管構(gòu)件鋼框架采用了Heish推薦的四參數(shù)冪函數(shù)模型體現(xiàn)典型連接的彎矩轉(zhuǎn)角關(guān)系。其表達式為：

 （25）

圖 6  三參數(shù)模型

　　K_e是連接的初始剛度矩陣，K_p是應(yīng)變強化剛度矩陣，M₀是參考彎矩，n是形狀參數(shù)。如果有試驗數(shù)據(jù)，公式中的四個參數(shù)可以通過曲線擬合得到；如果直到連接的細部情況，也可用分析方程得出。但是一般設(shè)計時并不確定連接的具體方式，需要一個基于一般連接試驗數(shù)據(jù)庫的標準曲線作為參照，或者使用根據(jù)數(shù)據(jù)庫得到的有關(guān)參數(shù)。Heish的研究報告給出了九種常用連接方式在面內(nèi)彎曲荷載作用下的四個參數(shù)的平均值。

　　Kim^[56]等采用了用三個參數(shù)的Kishi－Chen冪函數(shù)模型：

 （26）

　　這里的m＝M/M_u，θ_r＝θ/θ₀，θ₀＝M_u/R_ki，M_u是連接的最大彎矩承載力，R_ki是初始連接剛度，n是形狀參數(shù)。對于公式中的參數(shù)，文獻給出了四種常見連接的解決方法。

    以上兩種方法都可以考慮卸載導(dǎo)致的應(yīng)力重分配對連接的影響。       

5、改進塑性鉸法的驗證

　　對改進塑性鉸法精度的驗證，一般推薦兩種方法，一種是與塑性鉸法的分析結(jié)果對比，一種是與設(shè)計規(guī)范的計算結(jié)果對比。文獻[3,7,14-17,20,22,24]等的對比結(jié)果顯示改進塑性鉸法分析具有較高的精度，能夠滿足工程設(shè)計的要求，可以用于實際設(shè)計。

6、結(jié)論和建議

　　塑性區(qū)法高級分析尚有待簡化，比如使用包括梁柱單元的混合單元，才能普遍用于實際工程設(shè)計。改進塑性鉸法作為一種可行的整體分析方法，已能夠考慮二階非線性、幾何非線性、材料非線性、連接非線性等影響鋼框架的強度和穩(wěn)定的關(guān)鍵因素，有望成為鋼框架工程設(shè)計的實用方法。
　　本文首先介紹了有關(guān)高級分析的一些基本情況，然后分別針對平面框架的平面內(nèi)分析和平面外分析，詳細介紹了改進塑性鉸法對各種非線性問題的處理方法。文中還介紹了對梁、柱、壓彎構(gòu)件和二維鋼框架結(jié)構(gòu)非線性分析的現(xiàn)狀。對構(gòu)件的非彈性平面外屈曲，尤其是雙向壓彎構(gòu)件的屈曲，研究并不充分，針對二維框架的非彈性研究也不多。此外，很少有人在高級分析中研究弱軸彎曲的問題。
　　改進塑性鉸法用穩(wěn)定函數(shù)法或有限元分析方程推導(dǎo)出單元剛度矩陣，考慮二階效應(yīng)的影響。對殘余應(yīng)力、幾何缺陷和彎矩的影響等因素也采用近似的方法解決，并保持了較高的精度。用減小切線模量代替減小截面慣性矩近似殘余應(yīng)力造成的截面平面內(nèi)承載能力削弱，用體現(xiàn)剩余彈性核特性的值(EI_y)_t、(EI_w)_t、(GJ)_t代替平面外彈性剛度EI_y、EI_w和GJ，以有效剛度法體現(xiàn)所有材料非線性、殘余應(yīng)力和幾何缺陷造成的平面外能力的削弱等等，這種近似解決的方法證明是可行的。
　　改進塑性鉸法為了簡化計算和分析，將一個構(gòu)件用一個或者二三個單元分析。由于沒有在截面上劃分分區(qū)單元，很難考慮局部屈曲和截面翹曲這種需要詳細分析截面各纖維受力狀態(tài)的問題。對于影響結(jié)構(gòu)強度的關(guān)鍵構(gòu)件或連接，應(yīng)當(dāng)用塑性分配法。而要考慮非彈性側(cè)向屈曲，包括局部屈曲和翹曲的塑性效應(yīng)，必須改變現(xiàn)在使用的三參數(shù)塑性強度公式。一個可能的解決方法是在塑性分配法中使用殼單元，這種單元不但便于解決翼緣或腹板的局部屈曲，還能夠很好的考慮構(gòu)件的側(cè)向扭轉(zhuǎn)和翹曲效應(yīng)。
　　嚴格意義上的空間鋼框框架二階彈塑性分析似乎還未出現(xiàn)。要真正在結(jié)構(gòu)水平上分析鋼框架在不同荷載水平下的行為和失效模式，需計及彎扭屈曲，解決具有雙向彎曲和扭轉(zhuǎn)并相互耦聯(lián)的更為復(fù)雜的三維空間剛架的彈塑性穩(wěn)定問題，還需要考慮結(jié)構(gòu)的整體扭轉(zhuǎn)、最不利的荷載組合、荷載相對剪心的距離以及各個構(gòu)件最不利的幾何缺陷形式等復(fù)雜問題。