用曲面有限單元建立的膜結(jié)構(gòu)分析理論

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用曲面有限單元建立的膜結(jié)構(gòu)分析理論

     葉小兵         吳健生  

  [提  要]：  本文首次采用曲面膜單元分析膜結(jié)構(gòu)，在非線性有限元理論

    基礎(chǔ)上詳細(xì)推導(dǎo)了全部公式。對新出現(xiàn)的問題和已往平面膜單元分析理論

    中各主要技術(shù)環(huán)節(jié)給出了新的解決辦法和改進(jìn)措施。 

    關(guān)鍵詞：  膜結(jié)構(gòu)，  曲面有限元，  幾何非線性有限元理論

一  引  言

    膜結(jié)構(gòu)是近一段時(shí)間內(nèi)獲得迅猛發(fā)展的一種新型空間結(jié)構(gòu)，它由于只承受張力，使得材料受力性能得到充分發(fā)揮，而且還有以下幾點(diǎn)有利因素：(1)重量輕，允許跨越大空間和設(shè)計(jì)成各種外形；(2)施工周期短，維護(hù)方便，造價(jià)低廉；(3)可滿足多方面的使用要求，易與自然環(huán)境融為一體，被國際建筑界譽(yù)為二十一世紀(jì)的建筑。

    膜結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)可分為三個(gè)步驟：(1)找出一個(gè)初始平衡形狀；(2)各種荷載組合下的力學(xué)分析以保證安全；(3)裁剪制作。發(fā)達(dá)國家從六十年代起開始提出多種計(jì)算方法，到目前為止以有限元法為最先進(jìn)，最普遍被采用的方法。而單元類型皆為三角形平面常應(yīng)變單元，該方法是從剛性板殼大變形理論移植過來的。

    從本文可以看到膜結(jié)構(gòu)作為只能抗拉的軟殼體是不適宜采用這種平面單元的，因?yàn)閷τ趧傂詺んw來說，這種平板單元可以看成平面應(yīng)力單元和平板彎曲單元的組合，其單元?jiǎng)傟嚳梢杂蛇@兩種單元?jiǎng)傟嚭喜⒍?。而膜結(jié)構(gòu)作為軟殼體是不能抗彎的，只能靠薄膜曲面的曲率變化，從而引起膜表面中內(nèi)力重分布來抵抗垂直于曲面的外荷載。如果還是采用這種只有平面內(nèi)應(yīng)力的板單元，則應(yīng)變的線性部分將不反映平面外z方向位移的影響，這導(dǎo)致單元不包含z方向節(jié)點(diǎn)反力，就每個(gè)單元來說靜力是不平衡的。所幸的是應(yīng)變的非線性部分考慮了z向位移的影響，使得各單元合并起來的總的平衡方程通過不

斷迭代能近似達(dá)到平衡，缺點(diǎn)是需要過多的平面內(nèi)位移來滿足平衡的要求，而實(shí)際情況是只需要一定的平面外和平面內(nèi)的位移及曲率變化就可以了。

    考慮到這些，本文首次采用曲面膜單元，應(yīng)變的線性部分引入了z向位移及單元的曲率和扭率，非線性部分仍然保留z向位移的影響項(xiàng)。這樣無論是每個(gè)單元還是各單元合并后的平衡方程都能很容易滿足，迭代次數(shù)大為減少，而變形結(jié)果也更符合真實(shí)情況。

而且由于單元內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)力都不相同，據(jù)此判斷皺折是否出現(xiàn)會更為精確。最后求出的每個(gè)單元的曲率和扭率對于判斷初始找形的正誤和優(yōu)劣以及裁剪下料都能提供很多非常有用的信息。

二  三維連續(xù)介質(zhì)大變形下非線性幾何方程的推導(dǎo)

及針對膜結(jié)構(gòu)的簡化

 1. 為了描述膜結(jié)構(gòu)大的變形，建立如圖2-1所示坐標(biāo)系

在三維連續(xù)介質(zhì)中，取整體笛卡爾直角坐標(biāo)系，任意點(diǎn)的位置可以用位置矢量R來表示。坐標(biāo)軸方向單位矢量

                  R

圖2-1

    在膜曲面上取一組正交曲線坐標(biāo)系,于是R又可表示為,

沿坐標(biāo)曲線切線方向的基本矢量

  2.  在正交曲線坐標(biāo)系中大變形下的Green應(yīng)變張量表達(dá)式

    當(dāng)膜變形后，膜中任意點(diǎn)的位移矢量，可以用單位矢量活動標(biāo)架

    上的分量來表示。其中 為三維正交曲線坐標(biāo)系的拉梅參數(shù)。

                                             (1)

變形后的位置矢量,變形后的基本矢量其中    線元變形后成為新線元,在變形前的坐標(biāo)系中比較二者，得到Green應(yīng)變張量表達(dá)式：

                                 (3) 在給出的具體表達(dá)式之前，針對后面將采用的有限元數(shù)值方法的特點(diǎn)，對(3)式作一些簡化處理：

  1)由于有限單元相對來說較小較扁平，所以可以假設(shè)膜曲面上的正交曲線坐標(biāo)

與其投影平面上相對應(yīng)的正交坐標(biāo) 并無甚區(qū)別。故單元內(nèi)每一點(diǎn)有

 不妨再設(shè)。

  2)兩個(gè)位置矢量的二次導(dǎo)數(shù)的乘積如忽略不計(jì)，近似取為零。

  3)只在線性項(xiàng)中考慮曲率和扭率對的影響，而在非線性項(xiàng)中忽略不計(jì)曲率和扭率對的影響。

    由于膜單元只能受拉不能抗壓抗彎，所以只需考慮,將(2)式和微分幾何中的Weingarteu公式及Gauss求導(dǎo)公式代入(3)式，并考慮以上的簡化處理后得到：

                                                   (4) 

其中， ，為曲面在該點(diǎn)處的曲率和扭率，為垂直于膜曲面方向的位移。

       三  每個(gè)膜單元的曲率和扭率的求法

    每個(gè)膜單元的表面作為空間曲面，它的方程可以表示成徑向形式：

                                    (5)

由微分幾何學(xué)知識可知，曲面的曲率和扭率如(2)所示，其中H1,H2為拉梅常數(shù)。

          (6)

        圖3-1

   考慮到第2節(jié)中的簡化假設(shè)(1),取,則曲面方程可表示為 z=z(x,y)

                      (7)

                            (8)

四  有限元位移模式和坐標(biāo)變換式

    采用6節(jié)點(diǎn)三角形曲面等參元對解決這個(gè)問題是非常必要的也是最簡便的，因?yàn)?/span>3個(gè)角節(jié)點(diǎn)和3個(gè)邊中節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)可以唯一確定這個(gè)扁殼單元的曲率和扭率，而等參元可以方便的將曲邊三角形單元轉(zhuǎn)化為直邊三角形單元來處理。

    以3個(gè)角節(jié)點(diǎn)形成的平面為局部坐標(biāo)系的xy平面，垂直于這個(gè)平面的方向?yàn)榫植孔鴺?biāo)系的z方向。投影于xy平面上的曲邊6節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移插值函數(shù)取面積坐標(biāo)

為參數(shù)，6個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移插值函數(shù)分別是：

                                            (9)

    在有限元單元?jiǎng)偠染仃囆纬蛇^程中需考慮3次坐標(biāo)系變換：

1)  第2節(jié)(4)式中的是沿著曲線坐標(biāo)系方向的，需轉(zhuǎn)換成單元局部坐系oxyz中的。轉(zhuǎn)換關(guān)系式為：

                                      (10)

2)  局部坐標(biāo)系坐標(biāo)由等參元的參數(shù)坐標(biāo)即面積坐標(biāo)來代替。

3)  局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中

五  薄膜結(jié)構(gòu)有限元分析公式

    修正的拉格郎日描述(U,L法)是以t時(shí)刻為參考構(gòu)形，來求解時(shí)刻的各變量，根據(jù)能量原理，可得線性化后的虛功方程：

     (11)

式(1)中，分別為定義在t時(shí)刻構(gòu)形上的格林應(yīng)變的線性部分和非線性部分。

    時(shí)刻外力虛功；       時(shí)刻構(gòu)形所占據(jù)的體積

 代入第4節(jié)中的位移插值函數(shù)后，可將(11)式化為：                                 (2)

    其中        

其中分別為線性應(yīng)變矩陣和非線性應(yīng)變矩陣，分別為柯西應(yīng)力矩陣和柯西應(yīng)力矢量。

    根據(jù)(2)式可求得節(jié)點(diǎn)位移增量U,由于式(2)是線性化處理后所得，故將時(shí)刻的近似位移代入平衡方程后必存在一個(gè)不平衡力：

                             (3)

消去  的過程即為平衡代的過程，為加速收斂過程，還使用了松馳因子:0<1,迭代公式可表示為:

          (4)

其中 為切線剛度矩陣，本文采用完全的Newton-Raphson法迭代。六  關(guān)于皺折的處理

    應(yīng)用非線性有限元理論，按照第5節(jié)中推導(dǎo)的公式(2)-(4)可以求得每一增量步中的變形狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)?？紤]到薄膜材料只有抗拉剛度這一特點(diǎn)，在每一增量步后必須要校核應(yīng)力狀態(tài)，以防出現(xiàn)壓應(yīng)力即wrinkling現(xiàn)象。本文用單元中精度最高的3個(gè)高斯點(diǎn)的主應(yīng)力來判斷該單元是否出現(xiàn)皺折。

(1) 若3個(gè)點(diǎn)的，則無皺折。

(2) 若有一個(gè)點(diǎn)的,則該單元失效。

(3) 若只有一個(gè)點(diǎn)的,則該單元產(chǎn)生皺折并以該點(diǎn)的方向?yàn)閱蜗?/span>        

    受拉方向，改變應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系矩陣 C

(4) 若有2個(gè)或3個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)單向受拉狀態(tài)，如果受拉方向都相同，則以該方向?yàn)檎麄€(gè)單   

    元的單向受拉方向。如果受拉方向不同但相差不大，則取平均值為整個(gè)單元的單向

    受拉方向。如果受拉方向相差過大，則按單元失效處理。

按照處理后的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系矩陣C來計(jì)算第5節(jié)中的切線剛度矩陣和不平衡力矢量。

七  結(jié)束語

    本文采用從力學(xué)上講更合理也更精確的曲面膜單元取代以往廣泛應(yīng)用的平面膜單元理論，詳細(xì)推導(dǎo)了理論公式，提出了數(shù)值計(jì)算的具體方案。從實(shí)際算例的結(jié)果看，兩種理論確有差別，因篇幅所限，在以后的系列文章中詳細(xì)論述算例分析和模型實(shí)驗(yàn)。

參考文獻(xiàn)

[1] B.Tabarrok and Z.Qin, Nonlinear Analysis Of Tension Structures, Computers &

    Structures, Vol.45, No.5/6, pp 973-984, 1992.

[2] 邵曉方，“薄膜結(jié)構(gòu)非線性分析、材料拉伸特性實(shí)驗(yàn)及風(fēng)荷載研究”，天津大學(xué)博士學(xué)位 

    論文，1993.            

[3] 揚(yáng)耀乾，“薄殼理論”，中國鐵道出版社，1981.                

[4] 王瑁成，邵敏，“有限單元法基本原理與數(shù)值方法”，清華大學(xué)出版社，1988.

The Analysis Theory Of Membrane Structure By The Curved Surface Finite Element Method

    Ye Xiaobing     Wu Jiansheng 

Abstract

    In this paper, the curved surface membrane element is used to analyze the membrane structures for the first time. All of essential formulas have been conducted on the basis of nonlinear finite element theory. New methods and procedures are given to solve the new problems and the old ones, which arise in the plane membrane element theory.

    Keywords: membrane structure, curved surface finite element,                                 geometrically nonlinear finite element method.