復(fù)雜管網(wǎng)數(shù)學(xué)模型及其分析方法

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簡(jiǎn)介： 這里將介紹基于管網(wǎng)基本定理的復(fù)雜管網(wǎng)數(shù)學(xué)模型分析法，該方法也稱(chēng)節(jié)點(diǎn)法。利用該方法可以將復(fù)雜管網(wǎng)的鄰接矩陣將簡(jiǎn)單管道與復(fù)雜管網(wǎng)的分析方法統(tǒng)一起來(lái)。同時(shí)給出非線性矩陣方程的迭代解法初始參數(shù)的計(jì)算方法。
關(guān)鍵字：非線性管網(wǎng) 節(jié)點(diǎn)法 水力分析

復(fù)雜管網(wǎng)分析方法有多種，近年新出現(xiàn)的有圖論法和有限元法^[3][4]。兩種方法各有所長(zhǎng)，圖論法將復(fù)雜的管網(wǎng)處理為相應(yīng)的“網(wǎng)絡(luò)圖”，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型以適用范圍各不相同管網(wǎng)水力計(jì)算。有限元法通過(guò)局部的管元分析得出管網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型。

管網(wǎng)水力分析的基礎(chǔ)是管段的水力學(xué)模型。常用的數(shù)學(xué)模型是采用Darcy-Weisbach 公式和 Hazen-Williams 公式。這兩個(gè)公式原用于管道沿程水力損失的計(jì)算，公式來(lái)源于理論研究和實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果。這兩個(gè)公式的應(yīng)用基礎(chǔ)是大量實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得出的參數(shù)。Darcy-Weisbach 公式一般采用Colebrook-White、Swamee-Jain 實(shí)驗(yàn)公式和 Moody 圖表來(lái)求出沿程損失系數(shù)f^[2]。文獻(xiàn)[1]論述了水力模型的基本形式和管網(wǎng)中管件的定理，該理論統(tǒng)一了局部損失和沿程損失的數(shù)學(xué)模型。這里進(jìn)一步討論在復(fù)雜管網(wǎng)中，基于該定理并利用節(jié)點(diǎn)分析方法給出Kirchhoff 第一定律和第二定律的表示方法及其應(yīng)用。

1. 管網(wǎng)模型

1.1.   管道模型

按文獻(xiàn)[1]介紹的：

定理1：任何管件的組合，其組合后的管件，以管件斷面的流量和壓力水頭表示的數(shù)學(xué)模型具有冪函數(shù)的形式。

   （1）

式中：a, b為不會(huì)等于零的實(shí)系數(shù)；h_f為管段的水頭損失；q是管段內(nèi)的流量。

換言之，對(duì)于管段兩端，記上游端水頭為H₂，下游端水頭為H₁，即：

       （2）

1.2.   復(fù)雜管網(wǎng)模型

對(duì)于復(fù)雜管網(wǎng)，這里所說(shuō)的復(fù)雜是指有多環(huán)、多水源、多出流口的管網(wǎng)，對(duì)于這種管網(wǎng)可以用與一般管道同樣形式的矩陣公式來(lái)表示。

記：

式中： H為管段的節(jié)點(diǎn)水頭矢量；q為管網(wǎng)的管段流量；n為管網(wǎng)中的管段數(shù)量。

為了有利于統(tǒng)一表達(dá)式，記管段兩端的水頭為H₁，H₂ 。

對(duì)于簡(jiǎn)單管段有：

  （4）

容易看出這種變形為采用線性方程組提供了方便。當(dāng)?shù)?/span>t次計(jì)算時(shí)，令：

        （5）

式中：   管段在第t-1時(shí)的流量，在第t-1次計(jì)算時(shí)它是已知量； 是管段在第t時(shí)的假定流量。

q是有方向的矢量，其方向是由管段端點(diǎn)2指向端點(diǎn)1。換言之，端點(diǎn)2水頭大于端點(diǎn)1的水頭，這樣水才能從端點(diǎn)2流到端點(diǎn)1，流量的值才可能是正值。從數(shù)學(xué)的角度理解，假定H₁，H₂，q為不為零的實(shí)數(shù)，H₁，H₂前面的正負(fù)號(hào)可以表示為管段的端點(diǎn)i在流量指向的方向。

對(duì)于如圖1所示的管網(wǎng)，可以用管網(wǎng)鄰接矩陣A表示。

圖1.      一個(gè)簡(jiǎn)單復(fù)雜管網(wǎng)圖

對(duì)于圖1按節(jié)點(diǎn)及管段編號(hào)來(lái)關(guān)聯(lián)，行是管段，列是節(jié)點(diǎn)。

①節(jié)點(diǎn)與1管段、2管段相連接，因假定管段的水流方向是由節(jié)點(diǎn)編號(hào)大端流向節(jié)點(diǎn)編號(hào)小端。①節(jié)點(diǎn)的鄰接向量是。同理：②節(jié)點(diǎn)的鄰接向量是，易知：

容易得到矩陣：

通常將以上矩陣稱(chēng)為管網(wǎng)的鄰接矩陣，

2. 節(jié)點(diǎn)分析法

如令：

圖1中與矩陣等式

   （6）

對(duì)應(yīng)的是以下矩陣：

           （7）

對(duì)①節(jié)點(diǎn)有：

對(duì)②節(jié)點(diǎn)有：

表明矩陣等式可以表示節(jié)點(diǎn)流量守恒定律。

根據(jù)流量守恒定律和能量守恒定律，有的學(xué)科也稱(chēng)為Kirchhoff 第一定律和第二定律。管網(wǎng)系統(tǒng)的兩個(gè)定律可表達(dá)為：

           （8）

這也是節(jié)點(diǎn)分析法的關(guān)鍵方程組。

其中：

         （9）

式中： A_c   節(jié)點(diǎn)與管段的鄰接矩陣；A_f  節(jié)點(diǎn)與已知水頭的鄰接矩陣；H_c 管段的節(jié)點(diǎn)水頭矢量；H_f   已知節(jié)點(diǎn)水頭矢量。

而且，

是式（4）在管網(wǎng)中的矩陣表達(dá)。

以圖1的管網(wǎng)為例有：

而且，

采用計(jì)算機(jī)程序自動(dòng)搜索分析，容易得到以上矩陣。同時(shí)，用矩陣表示的是：

=（10）

矩陣運(yùn)算后可表示成以下方程：

      （11）

其中H₆是已知水塔的水頭。式（10）表明矩陣方法可以表示節(jié)點(diǎn)能量守恒定律。

以上分析雖然是針對(duì)圖1的實(shí)例進(jìn)行，但沒(méi)有設(shè)立管網(wǎng)聯(lián)接及出流的特殊性條件，故所介紹的分析結(jié)果具有一般性。顯然，這種結(jié)果也可以通過(guò)采用“圖論法”和有限元法進(jìn)行分析得到。

3. 方程的解法

矩陣方程（8）是復(fù)雜管網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)此模型的求解可以得到管網(wǎng)的水力學(xué)參數(shù)。如將Y(q)看作一個(gè)常數(shù)，該方程就是一個(gè)線性方程組，可將此線性方程組稱(chēng)為非線性方程（8）的伴隨方程。注意到管網(wǎng)在第t-1時(shí)的流量為q(t-1)，在第t-1次計(jì)算時(shí)Y(q(t-1))是已知量；q(t)是管網(wǎng)在第t時(shí)的流量。

實(shí)際上是在迭代運(yùn)算中令：

Y(q(t)) = Y(q(t-1))

因大多數(shù)管網(wǎng)它們的管段內(nèi)流速v都在1~3 m/s之內(nèi)。經(jīng)驗(yàn)證明這樣種情況下，令流速v=1作為t=0的初值比較合理。這時(shí)，矩陣方程（8）實(shí)際迭代時(shí)t為：

式中：A_i為i管段的斷面面積；n為管網(wǎng)的管段數(shù)。

當(dāng)在t_e時(shí)，迭代中，當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為方程解為：  i=1,…,n ；k=1,…,m；m為管網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

其中， 為一相對(duì)小的數(shù)，工程上，一般取就行了。的值越小計(jì)算機(jī)的運(yùn)算時(shí)間就越長(zhǎng)。

由方程（8）變形得到方程：

      （12）

式中，H_c    管段的節(jié)點(diǎn)水頭矢量，是待求的未知量；H_f 為已知節(jié)點(diǎn)水頭矢量。q=是管段內(nèi)的流量矢量，是待求的未知量；d是管網(wǎng)的出水量矢量，是已知量。

用線性方程組的解法容易經(jīng)3~4次迭代得到方程（12）的解。

4. 結(jié)論

復(fù)雜管網(wǎng)可以用矩陣的形式表示，并可用節(jié)點(diǎn)法建立其矩陣方程。其方程為：

      （12）

此方程是一個(gè)非線性方程，解此方程可用迭代法進(jìn)行計(jì)算。迭代的初始參數(shù)及計(jì)算方法如下：

當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為方程解為：  i=1,…,n ；k=1,…,m；n為管網(wǎng)的管段數(shù)，m為管網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

[1] 李鳴，管網(wǎng)基本定理及其數(shù)學(xué)模型[J]，節(jié)水灌溉，2001  (1)8-11

[2] Haestad Methods, Thomas M. Walski, Advanced Water Distribution Modeling and Management [M], Haestad Press, 2003

[3] 石 繼，張豐周，魏永曜，圖論法用于供水管網(wǎng)水力計(jì)算的研究 [J]，水利學(xué)報(bào)，1999  (2)

[4] 康躍虎，微灌系統(tǒng)水力學(xué)解析和設(shè)計(jì)[C]，陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1999.4

［作者簡(jiǎn)介］李鳴，男，48 歲，高級(jí)工程師。感謝長(zhǎng)江水利委員會(huì)劉東同志對(duì)本文早期研究工作的支持。