【CC++語(yǔ)言入門篇】-- 剖析浮點(diǎn)數(shù)

上面簡(jiǎn)單的描述了在數(shù)學(xué)意義上的浮點(diǎn)數(shù)表示，但是在計(jì)算機(jī)中，我們存放在內(nèi)存中的直觀上看16進(jìn)制數(shù)，那么這些16進(jìn)制數(shù)是怎么表示我們浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制形式呢？

在 IEEE 標(biāo)準(zhǔn)中，浮點(diǎn)數(shù)是將特定長(zhǎng)度的連續(xù)字節(jié)的所有二進(jìn)制位分割為特定寬度的符號(hào)域，指數(shù)域和尾數(shù)域三個(gè)域，其中保存的值分別用于表示給定二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)中的符號(hào)，指數(shù)和尾數(shù)。這樣，通過(guò)尾數(shù)和可以調(diào)節(jié)的指數(shù)（所以稱為"浮點(diǎn)"）就可以表達(dá)給定的數(shù)值了。具體的格式：

                     符號(hào)位     階碼      尾數(shù)     長(zhǎng)度
float             1         8       23      32
double          1        11       52      64

我們都知道浮點(diǎn)數(shù)在32位機(jī)子上有兩種精度，float占32位，double占64位。很多朋友喜歡把double用于8字節(jié)的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)。從這點(diǎn)我們應(yīng)該不要特殊看到浮點(diǎn)數(shù)的內(nèi)存存儲(chǔ)形式，他跟整數(shù)沒(méi)有什么區(qū)別，只是在這4字節(jié)或者8字節(jié)里有3個(gè)區(qū)域，整數(shù)有符號(hào)只有符號(hào)位及后面的數(shù)值，之所以最高位表示有符號(hào)數(shù)的符號(hào)位。原因之一在于0x7fffffff位最大整數(shù)，為整個(gè)32位所能表示的最大無(wú)符號(hào)整數(shù)0xffffffff的一半減一，也就是：比如1字節(jié)：無(wú)符號(hào)是：0xff，有符號(hào)正數(shù)為:(0, 127]，負(fù)數(shù)為[-128, 0)。在8位有符號(hào)時(shí)，肯定內(nèi)存值大于等于: 0x80。二進(jìn)制就是1000 0000，比他大，只會(huì)在低7位上變化，最高位已經(jīng)是1了，變了就變小了。所以這里也是一個(gè)比較巧用的地方，一舉兩得。

那么，我們先來(lái)看32位浮點(diǎn)數(shù) 的換算：

1. 從浮點(diǎn)數(shù)到16進(jìn)制數(shù)

float  var = 5.2f;

就這個(gè)浮點(diǎn)數(shù)，我們一步一步將它轉(zhuǎn)換為16進(jìn)制數(shù)。

首先，整數(shù)部分5，4位二進(jìn)制表示為：0101。

其次，小數(shù)部分0.2，我們應(yīng)該學(xué)了小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的計(jì)算方法，那么就是依次乘以2，取整數(shù)部分作為二進(jìn)制數(shù)，取小數(shù)部分繼續(xù)乘以2，一直算到小數(shù)結(jié)果為0為止。那么對(duì)0.2進(jìn)行計(jì)算：

0.2*2 = 0.4 * 2 = 0.8 * 2 = 1.6(0.6) * 2 = 1.2(0.2)*2 = 0.4 * 2 = 0.8 * 2 = 1.6(0.6) * 2 = 1.2 ... ...

                0              0            1                     1                  0             0             1                  1   ... ...    

因此，這里把0.2的二進(jìn)制就計(jì)算出來(lái)了，結(jié)果就為：0.00110011... ... 這里的省略號(hào)是你沒(méi)有辦法計(jì)算完。二進(jìn)制序列無(wú)限循環(huán)，沒(méi)有到達(dá)結(jié)果為0的那一天。那么此時(shí)我們?cè)撛趺崔k？這里就得取到一定的二進(jìn)制位數(shù)后停止計(jì)算，然后舍入。我們知道，float是32位，后面尾數(shù)的長(zhǎng)度只能最大23位。因此，計(jì)算結(jié)束的時(shí)候，整數(shù)部分加上小數(shù)部分的二進(jìn)制一共23位二進(jìn)制。因此5.2的二進(jìn)制表示就為：

101.00110011001100110011

一共23位。

此時(shí)，使用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示，結(jié)果為：

1.0100110011001100110011 * 22

由于我們規(guī)定，使用二進(jìn)制科學(xué)計(jì)數(shù)法后，小數(shù)點(diǎn)左邊必須為1（肯定為1嘛，為0的話那不就是0.xxxx*sxxx 了，這樣沒(méi)有什么意義），這里不能為0是有一個(gè)很大的好處的，為什么？因?yàn)橐?guī)定為1，這樣這個(gè)1就不用存儲(chǔ)了，我們?cè)趶?6進(jìn)制數(shù)換算到浮點(diǎn)數(shù)的時(shí)候加上這個(gè)1就是了，因?yàn)槲覀冎肋@里應(yīng)該有個(gè)1，省略到這個(gè)1的目的是為了后面的小數(shù)部分能夠多表示一位，精度就更高一些了喲。那么省略到小數(shù)點(diǎn)前面的1后的結(jié)果為：

.01001100110011001100110 * 22

這里后面藍(lán)色的0就是補(bǔ)上的，這里不是隨便補(bǔ)的一個(gè)0，而是0.2的二進(jìn)制在這一位上本來(lái)就應(yīng)該為0，如果該為1，我們就得補(bǔ)上一個(gè)1.是不是這樣多了一位后，實(shí)際上我們用23位表示了24位的數(shù)據(jù)量。有一個(gè)位是隱藏了，固定為1的。我們不必記錄它。

但是，在對(duì)階或向右規(guī)格化時(shí)，尾數(shù)要向右移位，這樣被右移的尾數(shù)的低位部分會(huì)被丟掉，從而造成一定的誤差，因此要進(jìn)行舍入處理。 常用的舍入方法有兩種：一種是“0舍1入”法，即如果右移時(shí)被丟掉數(shù)位的最高位為0則舍去，為1則將尾數(shù)的末位加“1”，另一種是“恒置1”，即只要數(shù)位被移掉，就在尾數(shù)的末位恒置“1”。

舉個(gè)例子：

123.456的二進(jìn)制表示：

123.456的二進(jìn)制到23位時(shí)：111 1011.0111 0100 1011 1100 01...

后面還有依次為01...等低位，由于最高位的1會(huì)被隱藏，向后擴(kuò)展一位如果不做舍入操作則結(jié)果為：

1.11 1011 0111 0100 1011 1100 0 * 26

但是經(jīng)過(guò)舍入操作后，由于被舍掉的位的最高位是1，或者“恒置1”法，最后面的0都應(yīng)該是1。因此最終就應(yīng)該是：

1.11 1011 0111 0100 1011 1100 1 * 26

在這里需要說(shuō)明，不管是恒置1，還是0舍1入法，其根本都是為了減小誤差。

好了，尾數(shù)在這里就計(jì)算好了，他就是 01001100110011001100110 。

再來(lái)看階數(shù)，這里我們知道是2^2次方，那么指數(shù)就是2。同樣IEEE標(biāo)準(zhǔn)又規(guī)定了，因?yàn)橹虚g的 階碼在float中是占8位，而這個(gè) 階碼又是有符號(hào)的（意思就是說(shuō)，可以有2^-2次方的形式）。

float 類型的 偏置量 Bias = 2k-1 -1 = 28-1 -1 = 127 ，但還要補(bǔ)上剛才因?yàn)樽笠谱鳛樾?shù)部分的 2 位（也就是科學(xué)技術(shù)法的指數(shù)），因此偏置量為 127 + 2=129 ，就是 IEEE 浮點(diǎn)數(shù)表示標(biāo)準(zhǔn)：

        V = (-1)s × M × 2E

        E = e - Bias

中的 e ，此前計(jì)算 Bias=127 ，剛好驗(yàn)證了 E = 129 - 127 = 2 。

這里的階碼就是12910 ，二進(jìn)制就是：1000 00012 。

因此，拼接起來(lái)后：

1000 0001 01001100110011001100110

| ←   8位 → | | ←------------- 23位 -------------→ |

一共就是31位了，這里還差一位，那就是符號(hào)位，我們定義的是5.2，正數(shù)。因此這里最高位是0，1表示負(fù)數(shù)。

而后結(jié)果就是：

  0 1000 0001 01001100110011001100110

1位 | ← 8位 → | | ←-------------- 23位 ------------→ |

到這里，我們內(nèi)存里面的十六進(jìn)制數(shù)產(chǎn)生了，分開來(lái)看：

0 100 0000 1 010 0110 0110 0110 0110 0110

    4       0        A        6       6        6        6        6

因此，我們看到的就是0x40A66666, 此就是5.2最終的整數(shù)形式。

2.從十六進(jìn)制數(shù)到浮點(diǎn)數(shù)

我們還是可以用上面5.2的例子，再將0x40A66666換算回去，用同樣一個(gè)例子，結(jié)果更直觀，逆運(yùn)算更好理解。那我們就開始吧。

首先，要還原回去，必須將這個(gè)16進(jìn)制用我們的計(jì)算器換算成二進(jìn)制:

0 100 0000 1 010 0110 0110 0110 0110 011 0

我是COPY上面的。這里顏色已經(jīng)很明顯了，我劃分成了3個(gè)區(qū)域 。

首先確定符號(hào)，這里是0，因此是正數(shù)。

其次看綠色的8位，換成10進(jìn)制就是：12910

我們逆運(yùn)算，知道這里需要129 - 127 = 2得到指數(shù)，得到了指數(shù)，我們便知道我們小數(shù)點(diǎn)是向哪個(gè)方向移動(dòng)了好多位。腦子里已經(jīng)有了一個(gè)科學(xué)計(jì)數(shù)法的錐形。

再次把紅色的23位提取出來(lái)，這里不把它換成10進(jìn)制，因?yàn)槲覀冎笖?shù)是表示的二進(jìn)制上移動(dòng)了多少位，底數(shù)是2，而不是10。

這里因?yàn)橹拔覀兌贾烙袀€(gè)固定的1給省略了，因此這里要給加上去。加上去之后：

1 010 0110 0110 0110 0110 011 0

這里是24位，我們先不管，小數(shù)點(diǎn)添進(jìn)去：

1 . 010 0110 0110 0110 0110 011 0 * 22

然后將科學(xué)計(jì)數(shù)法變換成普通的二進(jìn)制小數(shù)：

1 01 . 0 0110 0110 0110 0110 011 0

到這里，就真正可以把整數(shù)部分換成十進(jìn)制了：

1 01 . 0 0110 0110 0110 0110 011 0

   5.  xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

我們知道了，整數(shù)部分是5，后面的小數(shù)部分再進(jìn)行逆運(yùn)算：

這里我們就應(yīng)該想想小數(shù)到二進(jìn)制數(shù)是乘法，這里逆運(yùn)算就應(yīng)該除以2，因此就可以表示為：

0 .    0 0110 0110 0110 0110 011 0

0 + 0*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 + 1*2-4 + 0*2-5 + 0*2-6 + 1*2-7 + ... ... + 0*2-21 這樣一個(gè)式子，我們算出結(jié)果來(lái)，放在浮點(diǎn)數(shù)里：

5.1999998。

因此我們可以看到精度已經(jīng)有損失了。

問(wèn)題一：寫寫-5.2的16進(jìn)制數(shù)？

再來(lái)看一個(gè)例子：

float var = 0.5, 算16進(jìn)制數(shù)。

首先，0.5整數(shù)部分為0，這里就不處理了。

其次，0.5小數(shù)部分，二進(jìn)制表示為：0.1

這里是0.1，將尾數(shù)補(bǔ)滿23位則是：

0.10 0000 0000 0000 0000 0002

由于小數(shù)點(diǎn)左邊是0，因此需要向右移動(dòng)一位 ，因此：

1.0 0000 0000 0000 0000 00002 * 2-1

這里1又被省略掉，所以23位全部變成了0 ，因此：

.00 0000 0000 0000 0000 00002 * 2-1

然后，因?yàn)檫@里指數(shù)是-1，因此階碼就是：-1 + 127 = 126 = 0111 11102

這樣一來(lái)，階碼就有了，由于又是正數(shù)，那么組合起來(lái)：

0 01111110 00000000000000000000000

這樣一來(lái)，最終的16進(jìn)制數(shù)則為：0x3f000000.

是不是很簡(jiǎn)單啊。

64位浮點(diǎn)數(shù) 的換算：

這里就不再具體說(shuō)明怎么換算的了，只需要提到2個(gè)地方：

一是，中間的階碼在double中占有11位，因此就不是+127了，而是加上1023，因?yàn)?1位能表示的最大無(wú)符號(hào)數(shù)是2047，因此有符號(hào)范圍[-1024, 1023]。

二是，尾數(shù)是52位，因此精度更高，能表示的數(shù)也就越大。我們?cè)趽Q算5.2的時(shí)候，后面的小數(shù)二進(jìn)制+前面的5的二進(jìn)制再省略一位后的總位數(shù)要填滿52位。

好了，浮點(diǎn)數(shù)也沒(méi)有太多要說(shuō)的，就到這里吧，在用的時(shí)候注意精度和范圍就可以了。

最后在提一個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題二：

float var0 = 5.2;

float var1 = 500.2;

float var2 = 50000.2;

float var3 = 5000000.2;

觀察這幾個(gè)數(shù)，加深一下那三個(gè)域的計(jì)算方式，并說(shuō)出這些數(shù)據(jù)有什么規(guī)律？