【CC++語言入門篇】-- 剖析浮點數(shù)

上面簡單的描述了在數(shù)學(xué)意義上的浮點數(shù)表示，但是在計算機中，我們存放在內(nèi)存中的直觀上看16進制數(shù)，那么這些16進制數(shù)是怎么表示我們浮點數(shù)的二進制形式呢？

在 IEEE 標(biāo)準(zhǔn)中，浮點數(shù)是將特定長度的連續(xù)字節(jié)的所有二進制位分割為特定寬度的符號域，指數(shù)域和尾數(shù)域三個域，其中保存的值分別用于表示給定二進制浮點數(shù)中的符號，指數(shù)和尾數(shù)。這樣，通過尾數(shù)和可以調(diào)節(jié)的指數(shù)（所以稱為"浮點"）就可以表達給定的數(shù)值了。具體的格式：

                     符號位     階碼      尾數(shù)     長度
float             1         8       23      32
double          1        11       52      64

我們都知道浮點數(shù)在32位機子上有兩種精度，float占32位，double占64位。很多朋友喜歡把double用于8字節(jié)的數(shù)據(jù)存儲。從這點我們應(yīng)該不要特殊看到浮點數(shù)的內(nèi)存存儲形式，他跟整數(shù)沒有什么區(qū)別，只是在這4字節(jié)或者8字節(jié)里有3個區(qū)域，整數(shù)有符號只有符號位及后面的數(shù)值，之所以最高位表示有符號數(shù)的符號位。原因之一在于0x7fffffff位最大整數(shù)，為整個32位所能表示的最大無符號整數(shù)0xffffffff的一半減一，也就是：比如1字節(jié)：無符號是：0xff，有符號正數(shù)為:(0, 127]，負數(shù)為[-128, 0)。在8位有符號時，肯定內(nèi)存值大于等于: 0x80。二進制就是1000 0000，比他大，只會在低7位上變化，最高位已經(jīng)是1了，變了就變小了。所以這里也是一個比較巧用的地方，一舉兩得。

那么，我們先來看32位浮點數(shù) 的換算：

1. 從浮點數(shù)到16進制數(shù)

float  var = 5.2f;

就這個浮點數(shù)，我們一步一步將它轉(zhuǎn)換為16進制數(shù)。

首先，整數(shù)部分5，4位二進制表示為：0101。

其次，小數(shù)部分0.2，我們應(yīng)該學(xué)了小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制的計算方法，那么就是依次乘以2，取整數(shù)部分作為二進制數(shù)，取小數(shù)部分繼續(xù)乘以2，一直算到小數(shù)結(jié)果為0為止。那么對0.2進行計算：

0.2*2 = 0.4 * 2 = 0.8 * 2 = 1.6(0.6) * 2 = 1.2(0.2)*2 = 0.4 * 2 = 0.8 * 2 = 1.6(0.6) * 2 = 1.2 ... ...

                0              0            1                     1                  0             0             1                  1   ... ...    

因此，這里把0.2的二進制就計算出來了，結(jié)果就為：0.00110011... ... 這里的省略號是你沒有辦法計算完。二進制序列無限循環(huán)，沒有到達結(jié)果為0的那一天。那么此時我們該怎么辦？這里就得取到一定的二進制位數(shù)后停止計算，然后舍入。我們知道，float是32位，后面尾數(shù)的長度只能最大23位。因此，計算結(jié)束的時候，整數(shù)部分加上小數(shù)部分的二進制一共23位二進制。因此5.2的二進制表示就為：

101.00110011001100110011

一共23位。

此時，使用科學(xué)計數(shù)法表示，結(jié)果為：

1.0100110011001100110011 * 22

由于我們規(guī)定，使用二進制科學(xué)計數(shù)法后，小數(shù)點左邊必須為1（肯定為1嘛，為0的話那不就是0.xxxx*sxxx 了，這樣沒有什么意義），這里不能為0是有一個很大的好處的，為什么？因為規(guī)定為1，這樣這個1就不用存儲了，我們在從16進制數(shù)換算到浮點數(shù)的時候加上這個1就是了，因為我們知道這里應(yīng)該有個1，省略到這個1的目的是為了后面的小數(shù)部分能夠多表示一位，精度就更高一些了喲。那么省略到小數(shù)點前面的1后的結(jié)果為：

.01001100110011001100110 * 22

這里后面藍色的0就是補上的，這里不是隨便補的一個0，而是0.2的二進制在這一位上本來就應(yīng)該為0，如果該為1，我們就得補上一個1.是不是這樣多了一位后，實際上我們用23位表示了24位的數(shù)據(jù)量。有一個位是隱藏了，固定為1的。我們不必記錄它。

但是，在對階或向右規(guī)格化時，尾數(shù)要向右移位，這樣被右移的尾數(shù)的低位部分會被丟掉，從而造成一定的誤差，因此要進行舍入處理。 常用的舍入方法有兩種：一種是“0舍1入”法，即如果右移時被丟掉數(shù)位的最高位為0則舍去，為1則將尾數(shù)的末位加“1”，另一種是“恒置1”，即只要數(shù)位被移掉，就在尾數(shù)的末位恒置“1”。

舉個例子：

123.456的二進制表示：

123.456的二進制到23位時：111 1011.0111 0100 1011 1100 01...

后面還有依次為01...等低位，由于最高位的1會被隱藏，向后擴展一位如果不做舍入操作則結(jié)果為：

1.11 1011 0111 0100 1011 1100 0 * 26

但是經(jīng)過舍入操作后，由于被舍掉的位的最高位是1，或者“恒置1”法，最后面的0都應(yīng)該是1。因此最終就應(yīng)該是：

1.11 1011 0111 0100 1011 1100 1 * 26

在這里需要說明，不管是恒置1，還是0舍1入法，其根本都是為了減小誤差。

好了，尾數(shù)在這里就計算好了，他就是 01001100110011001100110 。

再來看階數(shù)，這里我們知道是2^2次方，那么指數(shù)就是2。同樣IEEE標(biāo)準(zhǔn)又規(guī)定了，因為中間的 階碼在float中是占8位，而這個 階碼又是有符號的（意思就是說，可以有2^-2次方的形式）。

float 類型的 偏置量 Bias = 2k-1 -1 = 28-1 -1 = 127 ，但還要補上剛才因為左移作為小數(shù)部分的 2 位（也就是科學(xué)技術(shù)法的指數(shù)），因此偏置量為 127 + 2=129 ，就是 IEEE 浮點數(shù)表示標(biāo)準(zhǔn)：

        V = (-1)s × M × 2E

        E = e - Bias

中的 e ，此前計算 Bias=127 ，剛好驗證了 E = 129 - 127 = 2 。

這里的階碼就是12910 ，二進制就是：1000 00012 。

因此，拼接起來后：

1000 0001 01001100110011001100110

| ←   8位 → | | ←------------- 23位 -------------→ |

一共就是31位了，這里還差一位，那就是符號位，我們定義的是5.2，正數(shù)。因此這里最高位是0，1表示負數(shù)。

而后結(jié)果就是：

  0 1000 0001 01001100110011001100110

1位 | ← 8位 → | | ←-------------- 23位 ------------→ |

到這里，我們內(nèi)存里面的十六進制數(shù)產(chǎn)生了，分開來看：

0 100 0000 1 010 0110 0110 0110 0110 0110

    4       0        A        6       6        6        6        6

因此，我們看到的就是0x40A66666, 此就是5.2最終的整數(shù)形式。

2.從十六進制數(shù)到浮點數(shù)

我們還是可以用上面5.2的例子，再將0x40A66666換算回去，用同樣一個例子，結(jié)果更直觀，逆運算更好理解。那我們就開始吧。

首先，要還原回去，必須將這個16進制用我們的計算器換算成二進制:

0 100 0000 1 010 0110 0110 0110 0110 011 0

我是COPY上面的。這里顏色已經(jīng)很明顯了，我劃分成了3個區(qū)域 。

首先確定符號，這里是0，因此是正數(shù)。

其次看綠色的8位，換成10進制就是：12910

我們逆運算，知道這里需要129 - 127 = 2得到指數(shù)，得到了指數(shù)，我們便知道我們小數(shù)點是向哪個方向移動了好多位。腦子里已經(jīng)有了一個科學(xué)計數(shù)法的錐形。

再次把紅色的23位提取出來，這里不把它換成10進制，因為我們指數(shù)是表示的二進制上移動了多少位，底數(shù)是2，而不是10。

這里因為之前我們都知道有個固定的1給省略了，因此這里要給加上去。加上去之后：

1 010 0110 0110 0110 0110 011 0

這里是24位，我們先不管，小數(shù)點添進去：

1 . 010 0110 0110 0110 0110 011 0 * 22

然后將科學(xué)計數(shù)法變換成普通的二進制小數(shù)：

1 01 . 0 0110 0110 0110 0110 011 0

到這里，就真正可以把整數(shù)部分換成十進制了：

1 01 . 0 0110 0110 0110 0110 011 0

   5.  xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

我們知道了，整數(shù)部分是5，后面的小數(shù)部分再進行逆運算：

這里我們就應(yīng)該想想小數(shù)到二進制數(shù)是乘法，這里逆運算就應(yīng)該除以2，因此就可以表示為：

0 .    0 0110 0110 0110 0110 011 0

0 + 0*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3 + 1*2-4 + 0*2-5 + 0*2-6 + 1*2-7 + ... ... + 0*2-21 這樣一個式子，我們算出結(jié)果來，放在浮點數(shù)里：

5.1999998。

因此我們可以看到精度已經(jīng)有損失了。

問題一：寫寫-5.2的16進制數(shù)？

再來看一個例子：

float var = 0.5, 算16進制數(shù)。

首先，0.5整數(shù)部分為0，這里就不處理了。

其次，0.5小數(shù)部分，二進制表示為：0.1

這里是0.1，將尾數(shù)補滿23位則是：

0.10 0000 0000 0000 0000 0002

由于小數(shù)點左邊是0，因此需要向右移動一位 ，因此：

1.0 0000 0000 0000 0000 00002 * 2-1

這里1又被省略掉，所以23位全部變成了0 ，因此：

.00 0000 0000 0000 0000 00002 * 2-1

然后，因為這里指數(shù)是-1，因此階碼就是：-1 + 127 = 126 = 0111 11102

這樣一來，階碼就有了，由于又是正數(shù)，那么組合起來：

0 01111110 00000000000000000000000

這樣一來，最終的16進制數(shù)則為：0x3f000000.

是不是很簡單啊。

64位浮點數(shù) 的換算：

這里就不再具體說明怎么換算的了，只需要提到2個地方：

一是，中間的階碼在double中占有11位，因此就不是+127了，而是加上1023，因為11位能表示的最大無符號數(shù)是2047，因此有符號范圍[-1024, 1023]。

二是，尾數(shù)是52位，因此精度更高，能表示的數(shù)也就越大。我們在換算5.2的時候，后面的小數(shù)二進制+前面的5的二進制再省略一位后的總位數(shù)要填滿52位。

好了，浮點數(shù)也沒有太多要說的，就到這里吧，在用的時候注意精度和范圍就可以了。

最后在提一個問題：

問題二：

float var0 = 5.2;

float var1 = 500.2;

float var2 = 50000.2;

float var3 = 5000000.2;

觀察這幾個數(shù)，加深一下那三個域的計算方式，并說出這些數(shù)據(jù)有什么規(guī)律？