地基承載力的模糊可靠度分析

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1、引言 
    我國現(xiàn)行規(guī)范是利用地基容許承載力進(jìn)行基礎(chǔ)及地基設(shè)計，所采用的容許承載力是利用極限承載力除以定值安全系數(shù)而得到的，即所謂的定值安全系數(shù)法。在計算極限承載力時使用了傳統(tǒng)的定值分析模式，沒有考慮各個參數(shù)的變異性對極限承載力的影響。即使在強度計算時取用的安全系數(shù)來考慮包括參數(shù)變異在內(nèi)的所有不利因素的影響又缺乏一定的科學(xué)依據(jù)，本質(zhì)上仍屬于定值分析的范疇。事實上，由于各種復(fù)雜因素的影響,巖土參數(shù)的不確定性不可避免，所以用考慮影響地基穩(wěn)定的各隨機變量的變異性，并用嚴(yán)格的概率來度量安全度，用可靠度理論對地基穩(wěn)定進(jìn)行分析更符合實際。 
    概率分析是針對隨機事件發(fā)生的可能性而言，但事件本身的含義明確。當(dāng)事件本身的含義具有模糊性，對事件發(fā)生與否可能性的描述則用模糊概率的分析方法。就地基的穩(wěn)定性而言，失穩(wěn)和穩(wěn)定本身就是帶有一定模糊性的事件，在二者之間存在一個模糊過渡區(qū)。本文視地基失穩(wěn)為一模糊概率事件，利用概率理論與模糊數(shù)學(xué)建立分析地基失穩(wěn)的方法及其相應(yīng)的隸屬函數(shù)，并對安全系數(shù)與模糊可靠度之間的關(guān)系作進(jìn)一步的分析。 
    2、模糊概率的基本概念及其模糊可靠度
    工程問題的數(shù)學(xué)模型通?？煞譃槿N：背景對象具有確定性或固定性，且對象又具有必然關(guān)系的確定性模型；背景對象具有或然性或隨機性的隨機性模型；背景對象及其關(guān)系均具有模糊性的模糊數(shù)學(xué)模型。工程中傳統(tǒng)的定值分析屬于確定性模型，它以定值參數(shù)及定值安全系數(shù)來衡量工程的安全度。工程中目前使用較多的概率分析法是第二類隨機數(shù)學(xué)模型，它以可靠度作為工程安全的評價標(biāo)準(zhǔn)，從而比定值安全系數(shù)法顯得更加合理。如果既考慮事件的隨機性，又考慮事件的模糊性，則對事件的描述更加科學(xué)，此時的評價標(biāo)準(zhǔn)就是模糊失效概率或模糊可靠度。
    由模糊數(shù)學(xué)理論可知,如果模糊事件A在區(qū)域X上的隸屬函數(shù)為u,則該模糊事件的概率為: 
　　　P(A)＝∫Xua（x）．f（x）dx　　　?。?） 
    式中　f為X的概率密度函數(shù)若區(qū)域X是離散區(qū)域,則 
  　　　　P(A)＝1ua（x）P（xi）　　　　　（2） 
    則模糊可靠度為: 
  　　　　β＝Φ－1（1－Pf）　　 　　　　?。?） 

    3、地基失穩(wěn)的模糊性及其隸屬函數(shù)的確定
    進(jìn)行地基模糊可靠度分析前,首先要建立地基穩(wěn)定的極限狀態(tài)方程。以綜合隨機變量表示的極限狀態(tài)方程為: 
　　　　　　　　　　　　　g＝fu－s　　　?。?） 
    式中　fu為地基的極限承載力,s為作用于基礎(chǔ)底面的點荷載效應(yīng),等于恒載與活載之和,即為: 
                                     s＝sG＋sq　　　?。?） 
    地基極限承載力的計算公式較多,一般的表達(dá)式為: 
            fu＝0．5γbbNr＋cNc＋γdhNq　　?。?） 
    式中　Nr，Nc，Nq為承載力系數(shù),按Vesic公式有: 
    Nq＝tg2（45°＋）exp（π．tgφ）　　 　（7） 
    Nc＝（Nq－1）ctgφ  　　　　　　　　　?。?） 
    Nr＝2（Nq＋1）tgφ　  　　　　　　　　　（9） 
    按傳統(tǒng)的非此即彼的思維方法,可知Z＜0，地基失效；Z＞0地基穩(wěn)定。實際上地基失效是一個過程，而不是由一個點決定，是一個模糊事件,用uA表示失效程度。當(dāng)uA接近0時,失效的可能性?。划?dāng)uA＝0．5時，處于最模糊狀態(tài)，可作為傳統(tǒng)分析的極限平衡狀態(tài)；當(dāng)uA＝1時，失效的可能性大，因此公式(3)中z為隨機變量,其數(shù)字特征值為：
    E［z］＝E［fu］－E［s］　　               　 （10） 
    σ［z］＝σ［fu］＋σ［s］－2cov（fu，s） （11） 
    當(dāng)u采用降半梯型分布：                      　　　（12） 
    根據(jù)前面討論：
    E［z］＝0，即E［fu］＝E［s］，　uA（Z）＝0．5 
    考慮極限情況,E［s］＝0時，E［z］＝E［fu］，uA（Z）＝0 
    故計算得:  　　　（13） 

    4、總安全系數(shù)下地基穩(wěn)定的模糊可靠度計算 
    總安全系數(shù)下地基承載力的實用設(shè)計表達(dá)式寫為：
    uG＋uQ＝　　?。?4） 
    式中　uG為恒載效應(yīng)均值，uQ　為活載效應(yīng)均值，u?fu為c，φ均值代入式(6)所計算的結(jié)果。 
    考慮荷載效應(yīng)比值ρ＝，代入(14)可以確定uG，uQ為: 
    式(15)、(16)代入(10)得到：
    E［Z］＝．ufu　　?。?7） 
    按《建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》的規(guī)定,恒載效應(yīng)的變異系數(shù)為0．07，活載效應(yīng)的變異系數(shù)取為0.29，所以有： 
     不考慮fu，s之間的相關(guān)性,即cov（fu，s）＝0，則有: 
　　　（20） 
    本文視幾何尺寸B、D，土性指標(biāo)γ，γ0為常量,僅把抗剪指標(biāo)c、?φ作為隨機正態(tài)變量,簡化假設(shè)fu，s也服從正態(tài)分布,則z近似服從正態(tài)分布,分布密度函數(shù)為: 
  　?。?1） 
    將(13)、(17)、(20)、(21)代入(1)得到地基失效的模糊概率為: 
  　　（22） 
    式中　a＝ 
　　λ1＝0．2369268851　λ2＝0．4786286705 
　　λ3＝0．5688888889　λ4＝0．4786286705 
　　λ5＝0．2369268851 
　　t1＝－0．9061798459 
　　t2＝－0．5384693101 
　　t3＝0 
　　t4＝－0．5384693101 
　　t5＝－0．9061798459 
　　地基失效的模糊可靠度為: 
      β＝Φ－1（1－Pf）　　　　?。?3） 

    5、算例分析及一些規(guī)律性研究 
    已知某條形基礎(chǔ),基底寬度3m,埋深2m,各隨機變量均服從正態(tài)分布,其均值和變異系數(shù)如表1所示,取總安全系數(shù)為2,荷載效應(yīng)比值為0．5，試求地基的模糊可靠度。 
    表1　隨機變量特征值 
    隨機  變量 γ?B γ?D C ?φ SG SQ 
    均值 21．5kN／m3 21．5kN／m3 36．61KPA 0．33 — — 
    變異  系數(shù) 0．005 0．005 0．118 0．073 0．07 0．29 
    （1）將各基本隨機變量代入公式（22）、（23）可以計算得到: 
　　Pf＝24．16％,此時模糊可靠度β＝0．7。 
    （2）基本隨機變量對模糊可靠度的影響 
    為了分析不同隨機變量的變異對模糊失效概率的敏感程度,特對某一隨機變量的變異系數(shù)進(jìn)行了單獨調(diào)整,并分析計算結(jié)果的變化，見表2。 
    表2　參數(shù)的變異系數(shù)對模糊失效概率的敏感分析 
    變異系數(shù) 模糊失效概率Pf 
    Vc＝0．10～0．40 24．08％～25．47％ 
    V?φ＝0．02～0．22 16．10％～28．37％ 
    Vγ＝0．005～0．02 24．16％～24．16％ 
    從表中結(jié)果可知c、φ值的敏感性大,而γ的敏感性小,為簡化計算,γB、γD可視為常量。為了反映c、?φ的變異性對模糊失效概率的影響規(guī)律,給出如下兩組Vc～Pf、V?φ～Pf變化關(guān)系曲線。 
    （3）安全系數(shù)K與模糊可靠度的關(guān)系 
    表3給出安全系數(shù)與模糊失效概率的對應(yīng)關(guān)系,隨著安全系數(shù)的增大其對應(yīng)的模糊失效概率相應(yīng)的增加,這與定值分析的結(jié)論是一致的。 
    表　3 
    安全系數(shù)K 模糊失效概率 
    1．5 33．78％  2．0 24．16％  3．0 16．39％ 
    （4）荷載效應(yīng)ρ與模糊可靠度的關(guān)系 
    由表4的結(jié)果可知，當(dāng)荷載效應(yīng)系數(shù)增大時,活荷載的比重相應(yīng)增加,而其變異性比恒載大,故模糊失效概率就相應(yīng)的增加。 
    表　4 
    安全系數(shù)K 荷載效應(yīng)ρ 模糊失效概率 
    K＝2 0．2 23．63％ 
    0．5 24．16％ 
    1．0 24．56％ 

    6、結(jié)論 
    地基承載力的模糊失效概率值，不僅考慮到了基本隨機變量的隨機變異性，而且考慮到判別模式的模糊性，因此分析計算更為合理、全面。 
    地基承載力的模糊概率分析中，主要的影響因素來于強度參數(shù)c、φ的變異,而γ的變異性可以不計，計算中按常量考慮。 
    當(dāng)安全系數(shù)K一定時，模糊概率與極限狀態(tài)方程中各基本隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)密切相關(guān)，而在統(tǒng)計參數(shù)一定的條件下，模糊概率隨K的增大而增大。